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數量關系:異素分堆,在混亂中看清本源

2020-08-26 15:48:21  來源:中公事業單位考試題庫
【導讀】

中公事業單位為幫助各位考生順利備考事業單位招聘考試,今天為大家帶來數量關系:異素分堆,在混亂中看清本源。

各位同學大家好,相信大家在備考數量關系時,對于排列組合的題目都感覺比較頭疼,而在排列組合問題中,分堆問題又是比較容易弄錯或者產生混亂的一類題型。分堆問題主要分為同素分堆和異素分堆,同素分堆問題其實就是隔板模型,共有三種常見考法,都可以采用隔板法進行求解,難度并不是太高;但是異素分堆問題,本身并沒有固定的解法,而且由于其本身的特殊性,是否需要乘以順序就成了學生最困惑的問題。那么,各位親愛的同學們,請問你是否也有這樣的困惑呢?

那么本期,老師就給大家總結一下這類看似復雜、混亂的異素分堆問題,怎么去做才能不會出錯,同時,也會把?嫉漠愃胤侄褑栴}的最優解法,給各位同學們總結清楚。那么接下來,請大家跟著老師好好學,仔細閱讀這篇文章,你應該會有所收獲的!

方法精講

異素分堆問題,在?碱}型中主要分為兩種:異素均勻分堆和異素不均勻分堆。

這兩者有什么區別呢?我們先來看看異素均勻分堆:

所謂的異素,就是指被分的元素是不相同的,有區別的。均勻分堆,則是指分完后每一堆的數量一樣,比如說四個不同顏色的小球,分作兩份,每份分兩個,這就是異素均分。

那么異素均分問題怎么解呢?我們先來看一個例題:

【例1】將甲、乙、丙、丁四個工作人員分作兩個小組,每組兩人,有多少種分法?

根據上面的描述我們知道,這是一道異素均分問題。根據題意,首先應該從四個人中選取兩人,剩下的兩人自行組成一組,根據這種想法,列式應該是種分法。但是根據常識我們知道,四個工作人員分成兩個小組,應該只能分成(甲乙、丙。,(甲丙、乙。,(甲丁、乙丙)3種情況。那也就是說,在原列式中出現了重復。問題出現在哪里呢?我們一起思考一下,原列式是,如果第一次選擇的是甲乙兩個工作人員,那么剩下的就是丙;但如果第一次選擇的是丙丁兩個工作人員,那么剩下的就是甲乙。你會發現,這兩種選擇方法最終形成的兩組人員都是(甲乙、丙。,他是沒有區別的、是重復的。因為如果是分成兩個均等的小組,那么在原列式上還要再除以一個,才是不重復的正確列法,即是種分法。

所以,這個一直困惑我們的重復在哪里的問題,各位同學現在應該清楚了吧?

但是我們的異素均分問題,其實還有一種分堆后還需要分配的問題,這種題型和剛才的問題有什么區別呢?讓我們一起來看一道例題:

【例2】將甲、乙、丙、丁四個工作人員分作兩個小組,每組兩人,分別去A、B兩個地區工作,有多少種分法?

根據上面的描述我們知道,這是一道異素均分問題。根據題意,首先應該從四個人中選取兩人,剩下的兩人自行組成一組,形成兩個兩人小組之后再進行分配。根據上一題的分析,分成兩個兩人小組的正確列式應該是種分法。然后再進行對A、B兩個地區的分配,兩個小組分配給A、B兩個地區,應乘以,所以總列式為種。同學們會發現,此時的列式化簡后,相當于。

也可以這么理解,在異素均分的分配中,可以“指定地方去安排人”,比如這個題,我先給A地區派人,為,接下來再給B地方派人,為,所以共有種不同的分法。當我們指定地方去安排人時,在分好組時就已經考慮了排序在其中,因此就沒有必要再進行全排列了,是相對最簡單的一種操作。

那么,學完異素均勻分堆之后,讓我們再來看看異素不均勻分堆:

不均勻分堆,是指分完后每一堆的數量不一樣,比如說六個不同顏色的小球,分作三份,第一份3個,第二份2個,第三份1個,這就是異素不均勻分堆。

那么異素不均勻分堆的問題怎么解呢?我們來看一個例題:

【例3】書架上有6本不同的書,分為3組,其中每組分別有1、2、3本,則有多少種不同的分法?

根據上面的描述我們知道,這是一道異素不均勻分堆的問題。根據題意,我們可以先從6本中選取一本,形成1本的那組,即,接下來再從剩余五本中選取2本,形成2本的那組,即,最后從剩余的三本中選取三本,形成3本的那種,即,所以總列式為種。此時是不需要跟異素均分一樣去考慮是否會選取重復的,這是為什么呢?因為我們此時選出來的每一組的數目都是不同的,是根本不可能出現重復的,所以并不需要像異素均分那樣去除以,直接便是正確的列式了。

現在,各位同學能看出異素分堆中均分和不均分的差別嗎?其實就是均分會出現重復選取的問題,需要除以;而不均分是不會出現重復選取的問題的,不需要除以。

但是我們的異素不均分的問題,其實還有一種分堆后還需要分配的問題,這種題型和剛才的問題有什么區別呢?讓我們一起來看一道例題:

【例4】書架上有6本不同的書,分給甲乙丙三人,有一個人分1本,有一個人分2本,另外一個人分3本,則有多少種不同的分法?

根據上面的描述我們知道,這是一道異素不均勻分堆的問題。根據題意,我們可以先把6本書按照要求不均勻地分為三個組,然后再分配給三個人,要乘以。首先,要從6本中選取一本,形成1本的那組,即,接下來再從剩余五本中選取2本,形成2本的那組,即,最后從剩余的三本中選取三本,形成3本的那種,即,分堆的列式為種,然后再分配給甲、乙、丙三個人,是全排列的算法,要乘以一個,所以總的列式為種。

看完了上面四道例題,它們代表的就是異素分堆?嫉乃兴姆N類型。同學們現在能夠分清這四種類型的區別和最優解法了嗎?讓我們一起來總結一下吧。

二、方法總結

1.異素均勻分堆,不需要分配時:

如n個元素,平均分成m堆,如果說每堆都可以分到k個,那么列式為:

。

2.異素均勻分堆,需要分配時:

如n個元素,平均分成m堆并且分配給m個對象,如果說每堆都可以分到k個,那么列式為:

。

3.異素不均勻分堆,不需要分配時:

如n個元素,平均分成m堆,如果說第一堆分到k1個,第二堆分到k2個,……,以此類推,那么列式為:

。

4.異素不均勻分堆,不需要分配時:

如n個元素,平均分成m堆,如果說第一堆分到k1個,第二堆分到k2個,……,以此類推,那么列式為:

×。

以上便是異素分堆?嫉乃兴姆N類型。通過這個總結,相信同學們應該對這類題目更加清楚了吧,好好進行學習和消化,相信以后遇到這類題目,應該就不會那么頭疼了。希望同學們可以再去多做幾道題目,體驗一下我們總結的方法和公式,相信你以后做題會更加得心應手,更加信手拈來。

那么這便是本期想跟大家分享的內容,希望大家好好學習,我們下期再見!

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